NÚMERO DE OURO

Os matemáticos denominam número de ouro o valor 1,618 e o representam pela letra Φ(fi) do alfabeto grego. Chamam de relação áurea o inverso de Φ, 1/1,618 = 0,618. Se um segmento de reta(S) se divide em dois, um maior(M) e outro menor(m), de modo que M + m = S, o número de ouro resulta da seguinte proporção: o segmento todo(S) está para a sua maior parte(M) assim como o segmento maior está para o menor(m): S/M = M/m, donde M2 = Mm = Φ = 1,618. E a relação áurea, ou proporção divina, se obtém, invertendo-se Φ, Φ-1, 1/ Φ = 1/1,618 = 0,618.
Na arquitetura, na escultura e no desenho, as formas que obedecem ao número de ouro e à relação áurea consideram-se como as mais perfeitas e agradáveis. Os artistas antigos, como egípcios e gregos já sabiam disto. Nas representações do corpo humano, por exemplo, situavam o ponto divisório dos segmentos mais ou menos à altura do umbigo. Logo, faziam com que a parte que vai do umbigo ao vértice da cabeça(Uc) estivesse para a que vai do umbigo ao solado dos pés(Up) assim como a altura total do desenho ou escultura(H) estivesse para a maior(Uc): Uc / Up = H / Uc = Φ = 1,618. E os bons artistas modernos não esquecem essa lição.
A partir do século XVIII, matemáticos, como o francês Édouard Luca, descobriram curiosas relações entre equações o número de ouro, a relação áurea e os números da série de Fibonacci. Alguns exemplos vão a seguir apresentados.
Na equação de segundo grau X2 – X – 1 = 0, uma das raízes é o número de ouro, Φ, a outra a relação áurea, Φ-1.
As equações do matemático francês Édouard Lucas revelam interessantes relações com o número Φ e seu inverso, Φ-1:

Φ = (√5 + 1)/ 2 Φ2 = (√5 + 3)/ 2 Φ3 = (2√5 + 4)/ 2 Φ4 = (3√5 + 7)/ 2

Φ5 = (5√5 + 11)/2 Φ6 = (8√5 + 18)/ 2 . . .

Observe-se na seqüência acima: 1)os expoentes do número de ouro Φ crescem digitalmente da esquerda para a direita e da primeira para a segunda linha; 2)os coeficientes da raiz quadrada de 5, √5, são os números da série de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8 ...; 3)os segundos números dentro dos parênteses, adicionados à √5, formam a série de Lucas, 1, 3, 4, 7, 11, 18 ...
Assim, o enésimo termo da série de Fibonacci pode obter-se mediante a equação de Lucas:
Xn = 1/ √5 [ (1 + √5/2)n – (1 - √5/2)n]

Já no século XVII, o matemático francês Marin Mersenne, estudando os números de Fibonacci, descobrira uma fórmula para determinação dos números primos. Ele observou que, na equação, 2n – 1 = X, se X é um número primo, n também será um número primo, divisível apenas por si mesmo e por 1 sem deixar resto fracionário. Por exemplo, 25 – 1 = X, X = 25 – 1 = 32 – 1 = 31. Logo, 31(X) é número primo porque 5(n) é primo. Em homenagem ao autor, a sucessão dos números primos obtidos por essa fórmula denomina-se série de Mersenne. Até então, a obtenção da série de números primos obtinha-se através do crivo de Eratóstenes(276-199 ACN) de Cirene, consistindo nos seguintes passos: 1)escrever a seqüência dos números inteiros, 1, 2, 3, 4, 5...n; 2)manter os números 1, 2 e 3, que são primos e, a partir do 2, sublinhar os números de dois em dois, para excluí-los, porque eles são múltiplos e não primos desde que todos são divisíveis por dois, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21...n; 3)a partir do três, sublinhar os números de três em três, para excluí-los porque eles são múltiplos e não primos, posto que são divisíveis por três; 4)continuar o mesmo procedimento, sublinhando e excluindo os divisíveis por 4, 5, 7...n; 5)depois desse procedimento, os números primos da série são somente aqueles que não forem sublinhados, como 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...n.
Hoje, com a ajuda dos computadores, tornou-se muito mais rápido e cômodo determinar números primos pela fórmula de Mersenne do que pelo crivo de Eratóstenes. No entanto, a recíproca do teorema de Mersenne nem sempre é verdadeira, pois há casos em que X é primo e n é múltiplo, como em 26 – 1 = 64 – 1 = 63.